Cadenas de Markov(Introducción)

A veces nos interesa saber cómo cambia una variable aleatoria a través del tiempo.

Por ejemplo, desearíamos conocer cómo evoluciona el precio de las acciones de una empresa en el mercado a través del tiempo.

El estudio de cómo evoluciona una variable aleatoria incluye el concepto de procesos estocásticos. Aquí veremos esos procesos, en especial uno que se conoce como Cadenas de Markov.

Las cadenas de Markov se han aplicado en áreas tales como educación, mercadotecnia, servicios de salud, finanzas, contabilidad y producción. Por ello, podemos considerarlas como una herramienta muy importante para la ingeniería industrial.

La cadena de Markov recibe su nombre del matemático ruso Andrei Markov que desarrollo el método en 1907, permite encontrar la probabilidad de que un sistema se encuentre en un estado en particular en un momento dado. Algo más importante aún, es que permite encontrar el promedio a la larga o las probabilidades de estado estable para cada estado. Con esta información se puede predecir el comportamiento del sistema a través del tiempo.

 La cadena de markov es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediato anterior. En efecto, las cadenas de este tipo tienen memoria. “Recuerdan” el último evento y esto condiciona las posibilidades de los eventos futuros. Esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de Markov de las series de eventos independientes, como tirar una moneda al aire o un dado.

 En los negocios, las cadenas de Markov se han utilizado para analizar los patrones de compra de los deudores morosos, para planear las necesidades de personal y para analizar el reemplazo de equipo.

En matemáticas, se define como un proceso estocástico discreto que cumple con la Propiedad de Markov, es decir, si se conoce la historia del sistema hasta su instante actual, su estado presente resume toda la información relevante para describir en probabilidad su estado futuro.

Para informacion adicional:
Investigación de operaciones: aplicaciones y algoritmos Escrito por Wayne L. Winston

Fundamentos matemáticos (operaciones con matrices)

SUMA Y RESTA DE MATRICES

Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(a_ij) y B=(b_ij), se define la matriz suma como: A+B=(a_ij+b_ij). Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición. De igual manera sucede con la resta de matrices.

Nota: La suma y diferencia de dos matrices NO está definida si sus dimensiones son distintas. 

PRODUCTO DE MATRICES

Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.

M_{m x n} x M_{n x p} = M _{m x p}

El elemento c_ij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

MATRIZ INVERSA

Se llama matriz inversa de una matriz cuadrada  An  y la representamos por  A^-1  , a la matriz que verifica la siguiente propiedad :

                                  A · A^-1  = A^-1 · A = I

Decimos que una matriz cuadrada es  "regular"  si su determinante es distinto de cero, y es  "singular"  si su determinante es igual a cero.

PROPIEDADES :
· Sólo existe matriz inversa de una matriz cuadrada si ésta es regular.
·La matriz inversa de una matriz cuadrada, si existe, es única.
·Entre matrices NO existe la operación de división, la matriz inversa realiza funciones análogas.

 Cálculo de la matriz inversa

A^-1 Matriz inversa.

Determinante de la matriz.

A* Matriz adjunta.

(A*)^t Matriz traspuesta de la adjunta.

 

 

 

 Cálculo por el método de Gauss