Cadenas de Markov (continuación)

Probabilidades de transición.

Una forma de describir una cadena de Markov es con un diagrama de estados, como el que se muestra en la figura a continuación:

En ésta se ilustra un sistema de Markov con seis (6) estados posibles : 1E, 2E, 3E, 4E, 5E Y 6E . La probabilidad condicional o de transición de moverse de un estado a otro se indica en el también diagrama mediante las flechas que van de un estado a otro.

Otro método para exhibir las probabilidades de transición es usar una matriz de transición. Dicha matriz es cuadrada con tantas filas y columnas como estados tiene el sistema, y los elementos de la matriz representan la probabilidad de que el estado próximo sea el correspondiente a la columna si el estado actual es el correspondiente a la fila. La matriz de transición para el ejemplo del diagrama de estados anterior es la siguiente:

Probabilidad de Estado estable

Probabilidad de que el sistema se encuentre en un estado determinado después de cierto número de transiciones. Una vez que se alcanza su estado estable , las probabilidades de estado no cambian de periodo a periodo. 

Estado Absorbente

Se dice que un estado es absorbente si es cero la probabilidad de hacer una transición fuera de ese estado. Por tanto, una vez que el sistema hace una transición hacia un estado absorbente, permanece en el siempre.

Estado de transición

Se dice a aquel estado que aun no llega a ser absorbente; sus probabilidades cambian constantemente con respecto al periodo anterior.

Ejemplos

v  En el departamento del atlántico funcionan tres tipos de operadores de telefonía celular: Movistar, Tigo y Comcel. De acuerdo a una encuesta realizada en el departamento del atlántico se encontró que existe un 30% de probabilidad de que un usuario de movistar siga siendo de este operador, 50% de probabilidad de que se pase a Tigo y un 20% de probabilidad de que se pase a Comcel. Mientras que existe un 70% de probabilidad que un usuario Tigo permanezca con este operador, 10% y 20% de probabilidad de que se pase a Movistar y Comcel respectivamente. Por último, un usuario de Comcel tiene un 50% de permanecer en este operador, un 20% y 30% de probabilidad de que se pase a Movistar y Tigo respectivamente. Sus porcentajes de usuarios en el mercado de telefonía celular actualmente son del 30% para Movistar y Tigo, y del 40% para Comcel.

1.    Hallar la Matriz de transición

2.    Hallar el estado estable.

Matriz de transición

P5 es el estado estable 

Ejemplo 2

Una distribuidora de electrodomésticos vende refrigeradores a distintas tiendas y restaurantes en la ciudad, a estos se les da 4 meses para cancelar las cuentas. Si estas no son pagadas durante este plazo la cuenta es cancelada y redireccionada a una agencia de cobranza y da por terminadas las transacciones con el cliente. Por esto, la distribuidora clasifica sus cuentas en nuevas, con 1 mes de retraso, 2 meses de retraso, 3 meses de retraso, 4 meses de retraso, pagadas e incobrables. Según el departamento de contabilidad el comportamiento de pago es el siguiente:

ü  70% de las cuentas nuevas se pagan en un mes.

ü  50% de las cuentas con un mes de retraso se liquidan al final del mes.

ü  60% de las cuentas con dos meses de retraso se pagan a fin de mes.

ü  80% de las cuentas con tres meses de retraso se pagan al final del mes.

ü  45% de las cuentas con cuatro meses de retraso se liquidan al final del mes.

De acuerdo con la información anterior hallar:

a.     Matriz de transición

b.     Probabilidad de que una cuenta nueva se liquide

c.     Cuantos meses debería esperar la distribuidora para que un cliente promedio liquide su cuenta.

Matriz de transición
	Nuevas	1 mes de R	2 mes de R	3 mes de R	4 mes de R	pagadas	Incobrables
Nuevas	0	0,3	0	0	0	0,7	0			No Absorbente
1 mes de R	0	0	0,5	0	0	0,5	0			Absorbente
2 mes de R	0	0	0	0,4	0	0,6	0
3 mes de R	0	0	0	0	0,2	0,8	0
4 mes de R	0	0	0	0	0	0,45	0,55
Pagadas	0	0	0	0	0	1	0
Incobrables	0	0	0	0	0	0	1

Matriz Identidad de la Matriz No Absorbente
	1	0	0	0	0
	0	1	0	0	0
	0	0	1	0	0
	0	0	0	1	0
	0	0	0	0	1

Matriz identidad - Matriz No Absorbente
	1	-0,3	0	0	0
	0	1	-0,5	0	0
	0	0	1	-0,4	0
	0	0	0	1	-0,2
	0	0	0	0	1

Matriz Inversa
	1	0,3	0,15	0,06	0,012
	0	1	0,5	0,2	0,04
	0	0	1	0,4	0,08
	0	0	0	1	0,2
	0	0	0	0	1

Matriz Inversa * Matriz Absorbente
			Pagadas	Incobrables
		Nuevas	0,9934	0,0066
		1 mes de R	0,978	0,022
		2 mes de R	0,956	0,044
		3 mes de R	0,89	0,11
		4 mes de R	0,45	0,55

	La probabilidad de que una cuenta nueva se liquide es del 99,34%
	Los meses que debe esperar la distribuidora para que un cliente promedio liquide su cuenta es de

1 + 0,3 + 0,15 + 0,06 + 0,012 =  1,55 meses